Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Grüß Gott zusammen.

Wir haben noch viel vor.

Jetzt sind es zwei Vorlesungstermin vor Weihnachten.

Es ist auch manches vielleicht nicht so ganz angenehme Teilarbeit, aber das, was wir damit

erledigen werden, glaube ich, ist sehr, sehr nützlich. Wir haben jetzt also

erst einmal die Betrachtung der Pseudoinversen abgeschlossen. Wir werden

darauf wieder zurückkommen, wenn wir in der Lage sind, Eigenwerte und damit

Singulärwerte zu berechnen, denn dann werden wir sehen, wir haben auf der Basis

eine sehr explizite Darstellung für die Pseudoinverse und kehren jetzt noch mal

zum Gaussverfahren zurück. Jetzt kann man natürlich sagen, warum denn schon wieder

Gaussverfahren, da wissen wir doch schon alles drüber. Eine ganz wesentliche Sache

wissen wir noch nicht und um die soll es jetzt gehen. Und um uns dieser

Problematik zu nähern, die wie gesagt in ihrer vollen Schönheit etwas

Detailarbeit erfordert, fangen wir mit einem Spezialfall an, der nicht so

schwierig ist, wo man sich aber erst mal fragen kann, na ja, was hat man damit

eigentlich erreicht. Also es geht jetzt erst mal noch gar nicht um dieses ganze

vollständige Bild, was wir mit dem Gauss-Verfahren haben hinsichtlich der

gesamten der Frage der Lösbarkeit und der Lösungsmenge eines Gleichungssystems,

sondern wir wollen uns nur auf den eindeutig lösbaren Fall konzentrieren.

Das heißt also wir haben ein quadratisches Gleichungssystem mit einer

invertierbaren Matrix, also in dem Fall ist schon mal sehr

vereinfacht. Wir betrachten das Gleichungssystem A x gleich B, das also

in dieser Situation für jede rechte Seite B eindeutig lösbar ist und wir

schauen uns noch mal das Gauss-Verfahren an. Das Gauss-Verfahren zur Erinnerung

transformiert in der Situation auf eine obere 3x-Matrix, auf eine quadratische

obere 3x-Matrix, wo alle Diagonalelemente alle Pivotelemente sind, also

von Null verschieden sind. Der nachfolgende Schritt, dann der Rückwärtsubstitution

ist dann eben eindeutig lösbar. Okay und jetzt machen wir noch eine, wie war das

noch mal mit der Gauss-Transformat, mit den Elementarumformungen.

Wir hatten zwei wesentliche Schritte oder Arten von Schritten, die wir da

durchgeführt haben. Das eine ist es die jeweilige Bereinigung unter dem

Diagonalelement durch Addition des entsprechenden Vielfachens dieser

Pivotzeile zu den nachfolgenden Zeilen. Das hat aber vorausgesetzt, dass das

Diagonalelement von Null verschieden ist. Das könnten wir jetzt in der Situation,

das können wir nicht immer garantieren, wir können durchaus schon im allerersten

Schritt eine invertierbare Matrix haben und dennoch ist das Element a11 gleich 0.

Deswegen brauchen wir im Allgemeinen immer auch den Schritt der Zeilenvertauschung,

die uns eben ein von Null verschiedenes Element an diese Pivotstelle bringt.

Da hatten wir auch Kriterien formuliert, was vielleicht im Sinne des numerischen

Rechnens die eine gute Wahl wäre, wenn man zum Beispiel ein Element mit

Betragsmaximum da nimmt. Wir wollen jetzt erst einmal die Situation dahingehend

vereinfachen, dass wir sagen, wir betrachten das Gaussverfahren, aber wir

gehen davon aus, dass es diese Zeilenvertauschung nie braucht.

Im ersten Schritt kann man das noch beurteilen, da muss man nur auf die

Matrix schauen und im ersten Schritt ist das vielleicht auch nicht schlimm, weil

man dann sagt, na gut, dann haben wir halt das Gleichungssystem ein bisschen

ungeschickt hingeschrieben, hätten was anderes als erste Zeile nehmen sollen.

Für alle weiteren Schritte gilt das natürlich nicht. Insofern ist das jetzt

etwas, was erstmal in der Luft hängt, wo wir nicht so wirklich wissen, meine